在2016年的考研数学一中，反常积分成为了考察的重点。这一部分内容涉及了广义积分的求解，考生需要在理解基本概念的基础上，熟练掌握各类反常积分的计算技巧。以下是一个典型的反常积分题目：
题目：计算反常积分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$。
解答过程：
首先，我们观察到被积函数 $\frac{1}{x^2 + 1}$ 在 $x = 0$ 处不连续，因此 $x = 0$ 是一个瑕点。由于 $x^2 + 1$ 在整个实数轴上均为正，所以反常积分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$ 是收敛的。
为了计算这个反常积分，我们可以将其拆分为两部分：
$$\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx.$$
接下来，我们分别计算这两部分的积分。
对于第一部分，由于函数 $\frac{1}{x^2 + 1}$ 在 $x = 0$ 处不连续，我们采用极限的思想：
$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \lim_{t \to 0^-} \int_{-1}^{t} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx.$$
利用基本的积分技巧，我们得到：
$$\int_{-1}^{t} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(t) - \arctan(-1) = \arctan(t) + \frac{\pi}{4}.$$
当 $t \to 0^-$ 时，$\arctan(t) \to -\frac{\pi}{4}$，因此：
$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 0.$$
对于第二部分，我们同样采用极限的方法：
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx.$$
利用基本的积分技巧，我们得到：
$$\int_{0}^{t} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(t).$$
当 $t \to \infty$ 时，$\arctan(t) \to \frac{\pi}{2}$，因此：
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{\pi}{2}.$$
将这两部分的结果相加，我们得到：
$$\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$$
综上，2016年考研数学一反常积分的答案为 $\frac{\pi}{2}$。
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