在探索泰勒公式在考研中的应用时，以下是一道原创的题目：
题目：已知函数 \( f(x) = e^x \)，求其在 \( x=0 \) 处的三阶泰勒展开式，并利用该展开式估算 \( e^{\frac{1}{2}} \) 的值。
解答过程：
1. 首先计算 \( f(x) \) 及其前四阶导数在 \( x=0 \) 处的值。
- \( f(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'(0) = e^0 = 1 \)
- \( f''(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'''(0) = e^0 = 1 \)
- \( f^{(4)}(0) = e^0 = 1 \)
2. 根据泰勒公式，\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的三阶展开式为：
\[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 \]
代入计算得：
\[ f(x) \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \]
3. 要估算 \( e^{\frac{1}{2}} \)，将 \( x = \frac{1}{2} \) 代入展开式：
\[ e^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
\[ e^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \]
\[ e^{\frac{1}{2}} \approx 1.617 \]
通过以上计算，我们可以使用泰勒公式对 \( e^{\frac{1}{2}} \) 进行近似估算。
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