在考研数学中，泰勒公式是一个重要的工具，它可以帮助我们近似计算函数在某一点的值。以下是一个关于泰勒公式的例题：
例题：已知函数 \( f(x) = e^x \)，求其在 \( x = 0 \) 处的三阶泰勒展开式。
解答：
1. 首先，我们需要计算 \( f(x) \) 及其前几阶导数在 \( x = 0 \) 处的值。
- \( f(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'(x) = e^x \)，所以 \( f'(0) = e^0 = 1 \)
- \( f''(x) = e^x \)，所以 \( f''(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'''(x) = e^x \)，所以 \( f'''(0) = e^0 = 1 \)
2. 接下来，根据泰勒公式，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的三阶展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 \]
将计算得到的值代入，得到：
\[ f(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \]
3. 因此，\( f(x) = e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的三阶泰勒展开式为：
\[ e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \]
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