在备战考研数学的过程中，大题部分往往是考验考生综合能力的重点。以下是一道考研数学大题的例题：
例题：
设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \) 在区间 \([1, 3]\) 上连续，在区间 \((1, 3)\) 内可导。求：
1. \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值；
2. 求满足 \( f'(x) = 0 \) 的所有 \( x \) 值，并分析 \( f(x) \) 在这些点的极值性质。
解题思路：
1. 首先，求出 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \)，并找到 \( f'(x) = 0 \) 的解，这些解即为可能的极值点。
2. 然后，计算这些极值点和区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 处的 \( f(x) \) 值，比较这些值以确定最大值和最小值。
3. 分析 \( f'(x) \) 在极值点附近的符号变化，以判断极值的性质。
答案：
1. 求导得 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3} \)。计算 \( f(x) \) 在这些点和区间端点的值，比较后得到最大值和最小值。
2. 分析 \( f'(x) \) 在 \( x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3} \) 附近的符号，确定极值点为极大值或极小值。
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