数学归纳法是考研数学中一个非常重要的基础概念，它能够帮助我们证明一系列的数学命题。下面，我将从几个关键点来详细解析数学归纳法的应用。
首先，理解数学归纳法的基本原理。它分为两个步骤：
1. 基础步骤：验证当n取初始值（通常是n=1）时，命题P(n)成立。
2. 归纳步骤：假设当n=k（k是一个大于等于初始值的正整数）时，命题P(k)成立，然后证明当n=k+1时，命题P(k+1)也成立。
接下来，让我们通过一个具体的例子来加深理解。
例子：证明对于所有自然数n，有\(2^n > n^2\)。
基础步骤：当n=1时，\(2^1 = 2 > 1^2 = 1\)，命题成立。
归纳步骤：假设当n=k时，\(2^k > k^2\)成立，现在证明当n=k+1时，命题也成立。
\[2^{k+1} = 2 \times 2^k > 2 \times k^2\]
由于\(2 > k\)（因为k至少为2，所以2^k至少为4，而k^2最大为4时k=2，此时2^k等于k^2），则
\[2 \times k^2 > k^2 + k^2 = (k+1)^2\]
因此，\(2^{k+1} > (k+1)^2\)，命题对于n=k+1也成立。
通过数学归纳法，我们证明了对于所有自然数n，\(2^n > n^2\)这一命题成立。
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