在数学分析考研习题中，深入理解极限、连续、导数、微分、积分等基本概念至关重要。以下是一些典型的考研习题解析：
1. 极限计算：求解 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的值。
- 解答：利用极限的基本性质，我们有 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
2. 连续性判断：判断函数 $f(x) = x^2$ 在 $x = 0$ 处是否连续。
- 解答：由于 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ 且 $f(0) = 0$，因此函数在 $x = 0$ 处连续。
3. 导数求解：求函数 $f(x) = e^x$ 在 $x = 1$ 处的导数值。
- 解答：根据导数的定义，$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1+h} - e^1}{h} = e$。
4. 微分方程求解：解微分方程 $y' - 2xy = e^x$。
- 解答：这是一个一阶线性微分方程，其通解为 $y = e^{-x} \left( C + \int e^x e^{2x} dx \right)$，化简后得 $y = \frac{1}{2} e^x (x + 1)$。
5. 积分计算：计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。
- 解答：利用积分公式，我们有 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x + C$。
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