在深入研究考研数学一2012真题的过程中，考生需全面把握题目中的核心知识点和解题技巧。以下是对该年度真题的深入分析与解答：
1. 线性代数：线性方程组的求解、特征值与特征向量、二次型等是重点。例如，在求解线性方程组时，应熟练运用矩阵运算和初等行变换。
2. 概率论与数理统计：概率分布、随机变量、大数定律与中心极限定理等是重点。例如，在解决概率问题时，要善于运用随机变量的性质和极限定理。
3. 高等数学：极限、导数、积分、级数等是重点。例如，在处理积分问题时，要熟练运用换元法、分部积分法等技巧。
4. 常微分方程：一阶线性微分方程、二阶线性微分方程等是重点。例如，在求解微分方程时，要灵活运用常数变易法、待定系数法等。
以下为2012年考研数学一真题中的典型题目及解答：
题目一：设向量组 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ 线性相关，$\boldsymbol{a}_1 = \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}, \boldsymbol{a}_2 = \begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}, \boldsymbol{a}_3 = \begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}$，求 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ 的线性组合 $\lambda_1\boldsymbol{a}_1 + \lambda_2\boldsymbol{a}_2 + \lambda_3\boldsymbol{a}_3 = \mathbf{0}$ 的非零解。
解答：首先，求出系数矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\\3 & 6 & 9\end{bmatrix}$ 的秩，得 $\text{r}(\boldsymbol{A}) = 1$。因此，$\lambda_1 + 2\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0$，取 $\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -1$，得 $\lambda_1 = 1$，所以非零解为 $\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}$。
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