线性代数是考研数学中不可或缺的一环，以下是一些线性代数的重要公式：
1. 矩阵的行列式：\( \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \)
2. 矩阵的秩：\( r(A) \leq \min\{m, n\} \)，其中\( A \)是\( m \times n \)矩阵。
3. 矩阵的逆：若\( A \)可逆，则\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \)。
4. 矩阵的秩与可逆性：若\( A \)可逆，则\( r(A) = m \)且\( r(A) = n \)。
5. 矩阵的秩与线性方程组：若\( Ax = b \)有解，则\( r(A) = r(A|b) \)。
6. 矩阵的秩与子矩阵：若\( A \)是\( m \times n \)矩阵，\( B \)是\( A \)的\( r \times s \)子矩阵，则\( r(B) \leq r(A) \)。
7. 矩阵的秩与线性变换：若\( T \)是\( n \)维线性空间\( V \)到\( m \)维线性空间\( W \)的线性变换，则\( r(T) \leq \min\{m, n\} \)。
8. 矩阵的秩与特征值：若\( A \)是\( n \)阶矩阵，\( \lambda \)是\( A \)的特征值，则\( r(A - \lambda I) = n - \text{重数}(\lambda) \)。
9. 矩阵的秩与线性无关性：若\( A \)的列向量组线性无关，则\( r(A) = n \)。
10. 矩阵的秩与线性相关性：若\( A \)的列向量组线性相关，则\( r(A) < n \)。
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