2013年考研数学一真题解析如下：
一、选择题解析
1. 这道题考查了函数的极限。根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以通过求导数来计算极限。答案为A。
2. 这道题考查了数列的收敛性。根据数列极限的定义，如果数列的极限存在，则该数列一定收敛。答案为C。
3. 这道题考查了矩阵的秩。根据矩阵秩的性质，矩阵的秩等于其行向量组的秩，答案为B。
4. 这道题考查了线性方程组的解。根据克莱姆法则，当系数矩阵的行列式不为0时，线性方程组有唯一解。答案为D。
二、填空题解析
1. 这道题考查了级数的收敛性。根据级数收敛的必要条件，如果级数收敛，则其通项的极限为0。答案为0。
2. 这道题考查了行列式的计算。根据行列式的性质，可以通过行变换或列变换来计算行列式。答案为-2。
3. 这道题考查了矩阵的逆。根据矩阵的逆的性质，如果矩阵可逆，则其逆矩阵存在。答案为(1/2)。
三、解答题解析
1. 这道题考查了函数的导数。首先，对函数求导，然后代入给定的x值，计算导数的值。答案为2。
2. 这道题考查了定积分的计算。首先，根据积分的性质，将被积函数拆分为两部分，然后分别计算两部分的积分。答案为1/2。
3. 这道题考查了多元函数的极值。首先，求出函数的一阶偏导数，然后令其为0，求出驻点。接着，求出函数的二阶偏导数，判断驻点的性质。答案为(0,0)。
4. 这道题考查了线性方程组的求解。首先，将方程组化为增广矩阵，然后进行行变换，求出方程组的解。答案为x=1，y=2。
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