数学三考研真题答案如下：
1. 答案：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 2]\) 上的最大值和最小值。
解：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = \pm 1 \)。计算 \( f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2 \)，\( f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \)，\( f(2) = 8 - 6 + 2 = 4 \)。比较 \( f(-1) \)，\( f(1) \)，\( f(2) \) 的值，得最大值为 4，最小值为 -2。
2. 答案：设 \( A \) 为 \( n \) 阶可逆矩阵，证明 \( A^{-1} \) 存在且 \( A^{-1} \) 也是 \( n \) 阶可逆矩阵。
解：由矩阵 \( A \) 可逆，知 \( \det(A) \neq 0 \)。根据行列式的性质，\( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \neq 0 \)，所以 \( A^{-1} \) 可逆。
3. 答案：设 \( f(x) = e^x \sin x \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
解：\( f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x \)，\( f''(x) = 2e^x \cos x \)，\( f'''(x) = -2e^x \sin x - 2e^x \cos x \)。计算 \( f(0) = 0 \)，\( f'(0) = 0 \)，\( f''(0) = 2 \)，\( f'''(0) = 0 \)。根据泰勒公式，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式为 \( f(x) = \frac{f''(0)}{2!}x^2 = x^2 \)。
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