在数学分析的考研试题中，以下是一道典型的题目：
题目： 设函数 \( f(x) = x^3 - 6x + 9 \)，证明：存在唯一的 \( x_0 \in (1, 3) \)，使得 \( f'(x_0) = 0 \)。
解题过程：
1. 首先计算 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
2. 由于 \( f(x) \) 是一个三次多项式，其导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6 \)。
3. 观察导数 \( f'(x) \) 的符号变化，在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 时，\( f'(x) \) 的值分别为 \( f'(1) = -3 \) 和 \( f'(3) = 9 \)。
4. 因为 \( f'(x) \) 在区间 \( (1, 3) \) 上是连续的，根据介值定理，存在 \( x_0 \in (1, 3) \)，使得 \( f'(x_0) = 0 \)。
5. 为了证明唯一性，假设存在另一个 \( x_1 \neq x_0 \) 使得 \( f'(x_1) = 0 \)，则 \( 3x_1^2 - 6 = 0 \)，解得 \( x_1 = \pm \sqrt{2} \)。由于 \( x_1 \) 不在区间 \( (1, 3) \) 内，因此 \( x_0 \) 是唯一的。
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