2009年数二真题解析如下：
一、选择题解析
1. 题目：若函数$f(x)=\sin x$，则$f'(x)=\sin x$的充要条件是（ ）
答案：A
解析：根据导数的定义，$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$，代入$f(x)=\sin x$，得到$f'(x)=\cos x$。所以，当$\cos x=\sin x$时，$f'(x)=\sin x$，即$\frac{\pi}{4}+k\pi$（$k$为整数）。
2. 题目：若数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2+2$，则$a_n$的极限是（ ）
答案：B
解析：由递推关系$a_{n+1}=a_n^2+2$，可知数列$\{a_n\}$单调递增。又因为$a_1=1$，所以$a_n>1$。设$a_n=\sqrt{2n-1}$，则有$a_{n+1}=\sqrt{2(n+1)-1}=\sqrt{2n+1}$。因此，$a_n$的极限为$\sqrt{2n-1}$，即$\sqrt{2}$。
二、填空题解析
1. 题目：若函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f'(x)=\frac{2x}{x-1}$。
解析：利用商法则求导，$f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-1)-(x^2-1)(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-(x^2-1)}{(x-1)^2}=\frac{2x}{x-1}$。
三、解答题解析
1. 题目：求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x-\sin x}{x}$。
解析：利用洛必达法则，$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x-\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\cos 3x-\cos x}{1}=3$。
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