在2020年考研数学二的试卷中，第5题是一道典型的综合应用题。题目内容如下：
题目：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求函数 \( f(x) \) 在区间 \([0, \infty)\) 上的最大值和最小值。
解题过程：
1. 求导数：首先对函数 \( f(x) \) 求一阶导数，得到 \( f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \)。
2. 求临界点：令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 0 \)。
3. 分析单调性：观察导数 \( f'(x) \) 的符号，当 \( x > 0 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，说明函数在 \( (0, \infty) \) 上单调递减。
4. 边界值：由于 \( f(x) \) 在 \( [0, \infty) \) 上连续，且在 \( x = 0 \) 处取得临界点，因此在 \( x = 0 \) 处可能存在极值。
5. 计算极值：计算 \( f(0) = 1 \)。
6. 结论：由于函数在 \( (0, \infty) \) 上单调递减，且 \( f(0) = 1 \)，所以函数 \( f(x) \) 在区间 \([0, \infty)\) 上的最大值为 \( 1 \)，最小值趋向于 \( 0 \)（当 \( x \) 趋向于无穷大时）。
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