在考研数学二中，压轴题往往涉及复杂的数学理论和方法，以下是一例原创的压轴题解答：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求函数在区间$[-1, 3]$上的最大值和最小值。
解答：
首先，求出函数的一阶导数和二阶导数：
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
$$f''(x) = 6x - 12$$
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = 2$。又因为$f''(1) = -6 < 0$，$f''(2) = 0$，所以$x = 1$是极大值点，$x = 2$是拐点。
接下来，比较端点值和驻点值：
$$f(-1) = -1 - 6 - 9 + 1 = -15$$
$$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$$
$$f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$$
$$f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$$
因此，函数在区间$[-1, 3]$上的最大值为$f(1) = 5$，最小值为$f(-1) = -15$。
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