在考研数学中，基本不等式是一个非常重要的工具，它可以帮助我们解决很多涉及均值不等式、算术平均数与几何平均数、均值不等式与导数等问题的题目。下面，我将结合具体实例，为大家详细解析如何运用基本不等式。
实例一：求最值问题
题目：已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，其中$a>0$，$b<0$，求$f(x)$的最大值。
解答：首先，我们可以利用基本不等式来求解。由均值不等式可得：
$$
\frac{x^2+2ax+b}{3}\geq\sqrt[3]{x^2\cdot2ax\cdot b}
$$
化简得：
$$
x^2+2ax+b\geq 3\sqrt[3]{2abx^2}
$$
当且仅当$x=\sqrt[3]{2ab}$时，等号成立。因此，$f(x)$的最大值为$3\sqrt[3]{2ab}$。
实例二：求导数问题
题目：已知函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，求$f'(x)$。
解答：利用基本不等式，我们可以将$f(x)$表示为：
$$
f(x)=\frac{x}{1+x^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2}
$$
再利用均值不等式，有：
$$
\frac{2x}{1+x^2}\geq\sqrt{2x\cdot\frac{1}{1+x^2}}=\sqrt{2}
$$
因此，$f(x)\geq\frac{\sqrt{2}}{2}$。等号成立当且仅当$x=1$。接下来，求导数：
$$
f'(x)=\frac{1}{(1+x^2)^2}-\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1-2x^2}{(1+x^2)^2}
$$
当$x=1$时，$f'(x)=0$。因此，$f(x)$在$x=1$处取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
实例三：求积分问题
题目：求$\int_0^1{\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x}$。
解答：利用基本不等式，我们有：
$$
\frac{1}{x^2+1}\leq\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}
$$
因此：
$$
\int_0^1{\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x}\leq\frac{1}{2}\int_0^1{\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x}+\frac{1}{2}\int_0^1{1\mathrm{d}x}
$$
计算得：
$$
\int_0^1{\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x}\leq\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{x}\right]_0^1+\frac{1}{2}\left[x\right]_0^1=\frac{1}{2}
$$
因此，$\int_0^1{\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x}\leq\frac{1}{2}$。
以上是基本不等式在考研数学中的几个应用实例。希望对大家有所帮助。最后，推荐一款考研刷题小程序——【考研刷题通】，它涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，帮助你在备考过程中更好地掌握知识点，提高解题能力。快来下载体验吧！【考研刷题通】