2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题部分
1. 解析：本题考查了函数极限的性质。根据极限的四则运算法则，可得$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2x^2-3x+1}{x^2+2x-1} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2x^2}{x^2} = 2$。故选A。
2. 解析：本题考查了二重积分的计算。根据二重积分的计算方法，可得$\iint_D x^2 y \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^x x^2 y \, dy \, dx = \frac{1}{3}x^3$。故选C。
3. 解析：本题考查了线性方程组的求解。根据克莱姆法则，可得$\frac{1}{2} = \frac{1}{\det(A)}$，从而$\det(A) = 2$。故选D。
二、填空题部分
1. 解析：本题考查了函数的导数。根据导数的定义，可得$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \frac{1}{6}$。故答案为$\frac{1}{6}$。
2. 解析：本题考查了级数的收敛性。根据级数的收敛判别法，可得$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{n} = 1$，故级数收敛。故答案为收敛。
三、解答题部分
1. 解析：本题考查了多元函数的极值问题。首先求出函数的偏导数，然后令偏导数为0，解得驻点$(1,1)$。再求出二阶偏导数，带入驻点，判断驻点的性质。由于$A = 2 > 0$，$B = -1 < 0$，$AC - B^2 = 5 > 0$，故驻点$(1,1)$为极小值点。故极小值为$f(1,1) = 1$。
2. 解析：本题考查了线性空间与线性变换。首先求出矩阵$A$的特征值和特征向量，然后构造可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$。根据线性变换的性质，可得$T^3(\alpha) = P\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}^3P^{-1}\alpha = P\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix}P^{-1}\alpha = P\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix}P^{-1}\alpha$。故$T^3(\alpha) = 3\alpha_1 + 8\alpha_2 + 27\alpha_3$。
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