在2021年考研数学中，证明题部分考察了考生对数学基础知识的深刻理解和逻辑推理能力。以下是一道典型的证明题示例：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，证明：对于任意实数 \( x \)，都有 \( f(x) \geq 0 \)。
解题过程：
1. 求导数：首先对函数 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
2. 求临界点：令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = -1 \) 或 \( x = 1 \)。
3. 分析函数性质：当 \( x < -1 \) 或 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，说明 \( f(x) \) 在这两个区间上单调递增；当 \( -1 < x < 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，说明 \( f(x) \) 在这个区间上单调递减。
4. 求极值：由于 \( f(x) \) 在 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 处取得极值，计算 \( f(-1) = 4 \) 和 \( f(1) = 0 \)。
5. 结论：结合函数的单调性和极值，可以得出对于任意实数 \( x \)，都有 \( f(x) \geq 0 \)。
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