线性代数在考研中占据重要地位，以下是一份原创的线性代数考研真题试卷：
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的逆矩阵为（ ）。
A. \( \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
B. \( \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
C. \( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)
D. \( \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
2. 设向量a和向量b满足\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)，则a和b的关系是（ ）。
A. a和b平行
B. a和b垂直
C. a和b共线
D. a和b不共线
3. 设向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性无关，则向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \)线性无关的充要条件是（ ）。
A. \( \mathbf{a}_4 \)可由\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性表示
B. \( \mathbf{a}_4 \)不可由\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性表示
C. \( \mathbf{a}_4 \)与\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)共线
D. \( \mathbf{a}_4 \)与\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)不共线
4. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的特征值为（ ）。
A. 1和2
B. 1和3
C. 2和3
D. 3和4
5. 设向量a和向量b满足\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)，则a和b的关系是（ ）。
A. a和b平行
B. a和b垂直
C. a和b共线
D. a和b不共线
6. 设向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性无关，则向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \)线性无关的充要条件是（ ）。
A. \( \mathbf{a}_4 \)可由\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性表示
B. \( \mathbf{a}_4 \)不可由\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性表示
C. \( \mathbf{a}_4 \)与\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)共线
D. \( \mathbf{a}_4 \)与\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)不共线
7. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的特征值为（ ）。
A. 1和2
B. 1和3
C. 2和3
D. 3和4
8. 设向量a和向量b满足\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)，则a和b的关系是（ ）。
A. a和b平行
B. a和b垂直
C. a和b共线
D. a和b不共线
9. 设向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性无关，则向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \)线性无关的充要条件是（ ）。
A. \( \mathbf{a}_4 \)可由\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性表示
B. \( \mathbf{a}_4 \)不可由\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性表示
C. \( \mathbf{a}_4 \)与\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)共线
D. \( \mathbf{a}_4 \)与\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)不共线
10. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的特征值为（ ）。
A. 1和2
B. 1和3
C. 2和3
D. 3和4
二、填空题（每题2分，共20分）
1. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的行列式为______。
2. 设向量a和向量b满足\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)，则a和b的关系是______。
3. 设向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性无关，则向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \)线性无关的充要条件是______。
4. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的特征值为______。
5. 设向量a和向量b满足\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)，则a和b的关系是______。
6. 设向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性无关，则向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \)线性无关的充要条件是______。
7. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的特征值为______。
8. 设向量a和向量b满足\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)，则a和b的关系是______。
9. 设向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性无关，则向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \)线性无关的充要条件是______。
10. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则A的特征值为______。
三、解答题（每题10分，共30分）
1. 设向量a和向量b满足\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)，证明a和b垂直。
2. 设向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性无关，证明向量组\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \)线性无关的充要条件是\( \mathbf{a}_4 \)不可由\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \)线性表示。
3. 设矩阵A为\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求A的特征值和特征向量。
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