泰勒公式在考研中的应用习题解析如下：
1. 题目：若函数$f(x) = e^x$在$x_0=0$处的泰勒展开式为$T_n(x)$，求$T_n'(0)$的值。
解析：泰勒公式的一阶导数即为函数在展开点处的导数值。因此，$T_n'(x)$是$f(x) = e^x$在$x=0$处的导数，即$T_n'(0) = f'(0) = e^0 = 1$。
2. 题目：已知函数$f(x) = \ln(x+1)$在$x=0$处的泰勒展开式的前三项为$T_3(x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，求$f''(0)$的值。
解析：泰勒展开式的前三项可以写为$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + O(x^3)$。比较系数，得到$f''(0) = -1$。
3. 题目：若函数$g(x) = \cos(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为$T_n(x)$，求$T_n(x)$中$x^n$的系数。
解析：泰勒展开式为$g(x) = \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$。因此，$T_n(x)$中$x^n$的系数取决于n的奇偶性。当n为偶数时，系数为$(-1)^{\frac{n}{2}} \times \frac{1}{(n/2)!}$；当n为奇数时，系数为0。
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