2021考研数学三试题及答案如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f'(x) \) 在 \( x=0 \) 处的值是（ ）
A. 0 B. 不存在 C. 1 D. -1
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. 无穷大
3. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，若 \( \det(A) = 0 \)，则 \( A \) 的秩为（ ）
A. 0 B. 1 C. n D. n-1
4. 设 \( y = e^{x^2} \)，则 \( y' \) 等于（ ）
A. \( 2xe^{x^2} \) B. \( 2x^2e^{x^2} \) C. \( 2xe^{x^2} \) D. \( 2x^2e^{x^2} \)
5. 设 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处可导，且 \( f(0) = 0 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \) 等于（ ）
A. 0 B. \( f'(0) \) C. \( f''(0) \) D. 无穷大
6. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f(x) \) 的极值点为（ ）
A. \( x = -1 \) B. \( x = 1 \) C. \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) D. 无极值点
7. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \det(A) = 2 \)，则 \( \det(3A) \) 等于（ ）
A. 6 B. 18 C. 54 D. 162
8. 设 \( f(x) = \ln(x+1) \)，则 \( f'(x) \) 等于（ ）
A. \( \frac{1}{x+1} \) B. \( \frac{1}{x} \) C. \( \frac{1}{x-1} \) D. \( \frac{1}{x+1} \)
9. 设 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (4, 5, 6) \)，则 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 等于（ ）
A. 32 B. 30 C. 28 D. 26
10. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，则 \( f(x) \) 的图像的对称轴为（ ）
A. \( x = 2 \) B. \( x = -2 \) C. \( y = 2 \) D. \( y = -2 \)
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. \( \int x^2 e^x \, dx = \) __________
2. \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = \) __________
3. \( \det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \) __________
4. \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \) __________
5. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \) __________
6. \( \int e^x \, dx = \) __________
7. \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \) __________
8. \( \int x^2 e^x \, dx = \) __________
9. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \) __________
10. \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \) __________
三、解答题（共4小题，每小题20分，共80分）
1. 解微分方程 \( y' + 2xy = e^x \)。
2. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 的极值。
3. 求矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵。
4. 设 \( f(x) = e^x \)，求 \( f(x) \) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
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