在2021年考研数学题中，一道颇具代表性的题目如下：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求证：对于任意实数$x$，$f(x) \geq 0$。
证明：首先，我们对$f(x)$求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
接下来，令$f'(x) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{2}{3}$。
然后，我们分析$f'(x)$的符号变化。当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$。
由此可知，$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处取得局部最大值，在$x = 1$处取得局部最小值。
进一步计算$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{27} - \frac{4}{9} + \frac{4}{3} - 1 = \frac{5}{27} > 0$，$f(1) = 1 - 3 + 4 - 1 = 1 > 0$。
因此，对于任意实数$x$，$f(x) \geq 0$。
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