在考研数学中，变化率与曲率的题目是考察考生对导数应用能力的重要环节。以下是一例原创题目：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求：
（1）函数在$x=1$处的瞬时变化率；
（2）函数在$x=1$处的曲率。
解答：
（1）首先求导数$f'(x)$，得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。将$x=1$代入，得$f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1$，所以函数在$x=1$处的瞬时变化率为1。
（2）曲率的公式为$K = \frac{|f''(x)|}{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}$。先求二阶导数$f''(x)$，得$f''(x) = 6x - 6$。将$x=1$代入，得$f''(1) = 0$。将$f'(1)$和$f''(1)$代入曲率公式，得$K = \frac{0}{[1 + 1^2]^{3/2}} = 0$，所以函数在$x=1$处的曲率为0。
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