2024年考研数学真题数一解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查了极限的计算。根据洛必达法则，分子分母同时求导，得到$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$。
2. 解析：本题考查了函数的连续性。由题意知，$f(x)$在$x=0$处连续，故$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)=0$。
3. 解析：本题考查了二重积分的计算。根据二重积分的计算方法，先对$x$积分，再对$y$积分，得到$\int_0^1 \int_0^x x^2 y \, dy \, dx = \frac{1}{3}$。
4. 解析：本题考查了线性方程组的求解。根据克莱姆法则，$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 1$，$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 6$，$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 3$，$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 3$，故$x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = 6$，$y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = 3$，$z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = 3$。
5. 解析：本题考查了微分方程的求解。设$y = u(x)v(x)$，代入微分方程，得到$u'v + uv' = 2u$，整理得$\frac{v}{u} = 2$，故$y = 2uv = 2x^2$。
二、填空题
1. 解析：本题考查了级数的收敛性。由比值审敛法，$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = 1$，故级数收敛。
2. 解析：本题考查了函数的极值。由导数的符号，当$x<1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>1$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减，故$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=e$。
3. 解析：本题考查了矩阵的秩。由矩阵的秩的性质，$\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(A)$，$\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)$，故$\text{rank}(AB) \leq \text{min}(\text{rank}(A), \text{rank}(B)) = 2$。
三、解答题
1. 解析：本题考查了多元函数的偏导数。由偏导数的定义，$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \cos x$，同理可得$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos y$。
2. 解析：本题考查了二重积分的计算。根据二重积分的计算方法，先对$x$积分，再对$y$积分，得到$\int_0^1 \int_0^y x^2 \, dx \, dy = \frac{1}{3}$。
3. 解析：本题考查了线性方程组的求解。根据克莱姆法则，$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 1$，$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 6$，$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 3$，$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 3$，故$x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = 6$，$y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = 3$，$z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = 3$。
4. 解析：本题考查了微分方程的求解。设$y = u(x)v(x)$，代入微分方程，得到$u'v + uv' = 2u$，整理得$\frac{v}{u} = 2$，故$y = 2uv = 2x^2$。
【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，轻松备考！快来体验吧！