在备战考研数学二的过程中，一份精心设计的模拟试卷至关重要。以下是一份原创的考研数学二模拟试卷：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x = 1$
B. $x = 2$
C. $x = -1$
D. $x = 0$
2. 若$\int_0^1{\frac{1}{x^2 + 1}dx} = \frac{\pi}{4}$，则$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\sin^2x + \cos^2x}dx}$的值为：
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $2\pi$
3. 下列级数中，收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}$
4. 已知矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^2 - 5\boldsymbol{A}$的秩为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 若$y = \ln(x^2 + 1)$，则$y'$为：
A. $\frac{2x}{x^2 + 1}$
B. $\frac{2}{x^2 + 1}$
C. $\frac{2x}{x^2 - 1}$
D. $\frac{2}{x^2 - 1}$
二、填空题（每题5分，共25分）
1. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \_ \_ \_ \_ \_$
2. $\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2x \, dx} = \_ \_ \_ \_ \_$
3. 级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$的和为\_ \_ \_ \_ \_
4. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为\_ \_ \_ \_ \_
5. 函数$y = e^x$在$x = 0$处的导数为\_ \_ \_ \_ \_
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2xy$。
2. 计算定积分$\int_0^{\pi}{\frac{\sin x}{x^2 + 1}dx}$。
3. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
4. 求矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的特征值和特征向量。
微信小程序：【考研刷题通】——你的考研刷题小助手。涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题，助你高效备考，轻松上分！立即扫码下载，开启你的考研刷题之旅！