2023年考研数学二中的二重积分问题，是考察考生对多元函数积分理解和应用能力的经典题型。在这一题型中，考生需要熟练掌握积分区域、积分顺序的选择，以及二重积分的计算方法。以下是一例二重积分题目：
题目：计算二重积分 \( \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy \)，其中积分区域 \( D \) 为由曲线 \( y = x \) 和 \( y = 2x \) 以及直线 \( x = 1 \) 所围成的三角形区域。
解题思路：首先，确定积分区域 \( D \) 的边界，然后根据积分区域的形状选择合适的积分顺序。在本题中，由于 \( D \) 为三角形区域，可以选择先对 \( x \) 积分，再对 \( y \) 积分。
具体计算过程如下：
1. 确定积分区域 \( D \) 的边界：\( y = x \)，\( y = 2x \)，\( x = 1 \)。
2. 根据边界确定积分的上下限：\( x \) 的积分限为 \( 0 \) 到 \( 1 \)，对于每一个 \( x \)，\( y \) 的积分限为 \( x \) 到 \( 2x \)。
3. 计算二重积分：
\[ \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_x^{2x} (x^2 + y^2) \, dy \, dx \]
4. 对内层积分进行计算：
\[ \int_x^{2x} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_x^{2x} = x^2(2x) + \frac{(2x)^3}{3} - x^2(x) - \frac{x^3}{3} \]
\[ = 2x^3 + \frac{8x^3}{3} - x^3 - \frac{x^3}{3} = \frac{10x^3}{3} \]
5. 对外层积分进行计算：
\[ \int_0^1 \frac{10x^3}{3} \, dx = \frac{10}{3} \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{10}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{6} \]
因此，该二重积分的值为 \( \frac{5}{6} \)。
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