在备战考研的道路上，数学是不可或缺的一环。以下是一道典型的考研数学题及其详细答案解析：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{e^x - 1}{x} \)（\( x \neq 0 \)），求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限。
解题过程：
1. 分析题意：本题考查的是极限的计算，需要判断函数 \( f(x) \) 在 \( x \) 趋近于0时的行为。
2. 代入法尝试：首先尝试直接代入 \( x = 0 \) 到函数中，但显然 \( \frac{e^0 - 1}{0} \) 是无意义的。
3. 洛必达法则：由于直接代入无法计算，且分子和分母均趋近于0，可以尝试使用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) 形式为 \( \frac{0}{0} \) 或 \( \frac{\infty}{\infty} \)，则可以求导数后重新计算极限。
4. 求导：对 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 分别求导，得 \( f'(x) = \frac{e^x(x - 1) + 1}{x^2} \) 和 \( g'(x) = 1 \)。
5. 再次计算极限：应用洛必达法则，有 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x(x - 1) + 1}{x^2} = \frac{1 + 1}{0} \)。
6. 再次遇到 \( \frac{\infty}{\infty} \) 形式：由于再次出现 \( \frac{\infty}{\infty} \) 形式，需要再次使用洛必达法则。
7. 最终求导：对 \( f'(x) \) 再次求导，得 \( f''(x) = \frac{e^x(x^2 - 2x + 2)}{x^3} \)。
8. 计算最终极限：再次应用洛必达法则，得 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x(x^2 - 2x + 2)}{x^3} = \frac{2}{0} \)。
9. 简化结果：由于 \( \frac{2}{0} \) 仍为不定式，需要进一步简化。注意到 \( e^x \) 在 \( x \to 0 \) 时趋近于1，因此极限可以简化为 \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2x + 2}{x^3} \)。
10. 最终答案：经过简化，得到 \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2x + 2}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x - 2 + \frac{2}{x}}{3x^2} = \frac{-2}{0} = -\infty \)。
所以，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为 \( -\infty \)。
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