在求解以下高等数学考研例题时，我们需要运用极限、导数和积分等知识。以下是一个典型的例题：
例题： 求函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解题步骤：
1. 求导数： 使用商的导数法则，设 \( u(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 和 \( v(x) = x^2 - 1 \)，则
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
其中 \( u'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \) 和 \( v'(x) = 2x \)。
2. 代入求值： 将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得到
\[
f'(1) = \frac{(3 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 9)(1^2 - 1) - (1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1)(2 \cdot 1)}{(1^2 - 1)^2}
\]
简化后得到
\[
f'(1) = \frac{0}{0}
\]
这是一个不确定形式。
3. 使用洛必达法则： 由于 \( f'(1) \) 形成了 \( \frac{0}{0} \) 的不定形式，我们可以使用洛必达法则，即对分子和分母同时求导：
\[
\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
再次代入 \( x = 1 \)，得到
\[
f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{(3 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 9)(1^2 - 1) - (1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1)(2 \cdot 1)}{(1^2 - 1)^2}
\]
最终计算得出 \( f'(1) = -12 \)。
总结： 通过运用导数的基本公式和洛必达法则，我们成功求出了给定函数在特定点的导数值。
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