例题：计算以下三重积分：
\[ \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \]
其中积分区域 \( V \) 为由 \( x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \) 所围成的球体。
解题步骤：
1. 确定积分区域 \( V \) 是一个半径为1的球体。
2. 由于被积函数 \( x^2 + y^2 + z^2 \) 是球坐标下的径向距离的平方，且球体的对称性，可以简化积分过程。
3. 转换到球坐标系中，设 \( x = r\sin\varphi\cos\theta \)，\( y = r\sin\varphi\sin\theta \)，\( z = r\cos\varphi \)，其中 \( r \) 是径向距离，\( \varphi \) 是极角，\( \theta \) 是方位角。
4. 球坐标下的体积元素 \( dV = r^2 \sin\varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta \)。
5. 积分变为：
\[ \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 (r^2 \sin^2\varphi \cos^2\theta + r^2 \sin^2\varphi \sin^2\theta + r^2 \cos^2\varphi) r^2 \sin\varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta \]
6. 由于 \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \)，积分简化为：
\[ \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 r^5 \sin^3\varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta \]
7. 计算内层积分：
\[ \int_0^1 r^5 \, dr = \frac{r^6}{6} \Bigg|_0^1 = \frac{1}{6} \]
8. 计算中间层积分：
\[ \int_0^{\pi} \sin^3\varphi \, d\varphi = \frac{4}{3} \]
9. 计算最外层积分：
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} \, d\theta = \frac{4}{9} \cdot 2\pi = \frac{8\pi}{9} \]
10. 最终结果为：
\[ \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \frac{8\pi}{9} \]
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