2018年考研数学三真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处连续且可导的是：
- A. \( f(x) = x^2 \)
- B. \( f(x) = |x| \)
- C. \( f(x) = \frac{x}{|x|} \)
- D. \( f(x) = x^3 \)
答案：C
2. 设\( f(x) = \ln(1+x) \)，则\( f'(0) \)的值为：
- A. 1
- B. 0
- C. -1
- D. 不存在
答案：A
3. 下列极限存在的是：
- A. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)
- B. \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)
- C. \( \lim_{x \to 0} x \ln x \)
- D. \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} \)
答案：B
二、填空题
4. 设\( f(x) = e^{x^2} \)，则\( f''(x) \)的值为______。
答案：2e^{x^2}(1 + 2x^2)
5. 若\( \int_0^1 f(x) \, dx = 2 \)，则\( \int_0^1 x f(x) \, dx \)的值为______。
答案：1
三、解答题
6. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)的极值。
答案：极大值f(1) = 0，极小值f(-1) = -6
7. 求极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} \)。
答案：1/2
8. 求微分方程\( y'' + 2y' + y = e^{-x} \)的通解。
答案：\( y = (C_1 + C_2x)e^{-x} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \)
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