在2020年的考研数一真题中，考生们面对了一系列充满挑战的数学问题。这些问题涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等核心内容。以下是对部分真题的详细解答：
1. 高等数学：求解函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
解答：通过对函数求导，找到导数为0的点，即f'(x) = 3x^2 - 3 = 0，解得x = ±1。由于x = ±1不在区间[0, 2]内，因此最大值和最小值只可能在端点处取得。计算f(0) = 1，f(2) = 1，故最大值为1，最小值为-1。
2. 线性代数：求矩阵A = [[2, 1], [-3, 2]]的特征值和特征向量。
解答：计算特征多项式|A - λI| = |[2-λ, 1], [-3, 2-λ]| = (2-λ)(2-λ) - (-3)(1) = λ^2 - 4λ + 7 = 0。解得λ1 = 2 + √3，λ2 = 2 - √3。对应的特征向量分别为v1 = [1, 2]，v2 = [1, -1]。
3. 概率论与数理统计：某工厂生产的产品合格率P(A) = 0.95，现从该工厂生产的100个产品中随机抽取10个，求其中恰好有3个不合格品的概率。
解答：这是一个二项分布问题，概率公式为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n=10，k=3，p=0.05。代入计算得P(X=3) = C(10, 3) * 0.05^3 * 0.95^7 ≈ 0.161。
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