考研数学中，罗尔中值定理的应用非常广泛，以下是一道经典例题及其答案：
例题： 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，证明存在$\xi \in (0, 1)$，使得$f'(\xi) = 0$。
解答：
1. 验证端点值： 计算$f(0)$和$f(1)$：
$$
f(0) = 0^3 - 3 \times 0 + 1 = 1, \quad f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 1 = -1.
$$
可见$f(0) \cdot f(1) < 0$。
2. 应用罗尔定理： 因为$f(x)$在$[0, 1]$上连续，在$(0, 1)$内可导，且$f(0) \cdot f(1) < 0$，所以根据罗尔定理，存在$\xi \in (0, 1)$，使得$f'(\xi) = 0$。
3. 求导并求解： 计算$f'(x)$：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3.
$$
令$f'(\xi) = 0$，得$3\xi^2 - 3 = 0$，解得$\xi = \pm 1$。由于$\xi \in (0, 1)$，故$\xi = 1$。
因此，存在$\xi = 1 \in (0, 1)$，使得$f'(\xi) = 0$。
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