在2024年考研数学二中，多元微分大题往往考查考生对偏导数、偏微分、全微分以及多元函数极值问题的理解和应用能力。以下是一道可能的多元微分大题示例：
题目：
已知函数 \( f(x, y) = x^2e^y + y^2e^x \)，求以下内容：
1. 求 \( f \) 在点 \( (1, 1) \) 处的偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)。
2. 计算 \( f \) 在点 \( (1, 1) \) 处的全微分 \( df \)。
3. 求函数 \( f \) 在点 \( (1, 1) \) 处的极值，并判断极值的类型。
解答：
1. 计算偏导数：
\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2e^y + y^2e^x) = 2xe^y + y^2e^x \]
\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2e^y + y^2e^x) = x^2e^y + 2ye^x \]
在点 \( (1, 1) \) 处，\( f_x(1, 1) = 2e + e = 3e \)，\( f_y(1, 1) = e + 2e = 3e \)。
2. 计算全微分：
\[ df = f_xdx + f_ydy = (3e)dx + (3e)dy \]
3. 求极值：
设 \( \nabla f = 0 \)，即 \( f_x = 0 \) 和 \( f_y = 0 \) 联立方程求解。
\[ 2xe^y + y^2e^x = 0 \]
\[ x^2e^y + 2ye^x = 0 \]
通过解这个方程组，可以找到可能的极值点。然后计算二阶偏导数 \( f_{xx} \)、\( f_{yy} \) 和 \( f_{xy} \)，并使用海森矩阵判断极值的类型。
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