线性代数是考研数学三中的关键部分，以下是一道典型的线性代数题目：
题目：设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先，计算矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( \det(\lambda I - A) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。经过计算，我们得到特征多项式为 \( \lambda^3 - 15\lambda^2 + 60\lambda - 54 = 0 \)。
接下来，解这个特征多项式，得到特征值 \( \lambda_1 = 6 \)，\( \lambda_2 = 3 \)，\( \lambda_3 = 0 \)。
对于每个特征值，求解对应的特征向量。以 \( \lambda_1 = 6 \) 为例，解方程组 \( (6I - A)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \)。
同理，对于 \( \lambda_2 = 3 \)，解方程组 \( (3I - A)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \)。
对于 \( \lambda_3 = 0 \)，解方程组 \( (-A)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( 6, 3, 0 \)，对应的特征向量分别为 \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)。
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