在2012年考研数学中，证明题部分涵盖了以下几个经典题型：
1. 数列极限存在性证明：考查了数列收敛的必要条件和充分条件，如夹逼准则、单调有界准则等。
2. 函数极限存在性证明：主要涉及连续函数、可导函数的极限存在性证明，以及运用洛必达法则解决“0/0”型、“∞/∞”型未定式。
3. 函数性质证明：包括函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性等。
4. 多元函数极限存在性证明：考查了偏导数、连续性、可微性等概念在多元函数极限证明中的应用。
5. 级数收敛性证明：包括正项级数、交错级数、条件收敛级数等。
6. 函数方程证明：涉及隐函数定理、反函数定理等。
在解答这些证明题时，关键在于掌握相关定理、性质，以及灵活运用数学方法。以下是一例证明题及其解答思路：
证明题：证明函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在区间$[0,1]$上存在零点。
解答思路：
1. 构造函数：设$F(x) = f(x) - x = x^3 - 4x + 1$。
2. 判断端点值：计算$F(0) = 1$，$F(1) = -2$，得到$F(0) > 0$，$F(1) < 0$。
3. 应用零点定理：由零点定理可知，在区间$[0,1]$上存在至少一个$\xi$，使得$F(\xi) = 0$。
4. 结论：因为$F(\xi) = 0$等价于$f(\xi) = \xi$，所以函数$f(x)$在区间$[0,1]$上存在零点。
考研数学证明题的解题技巧在于：首先要熟悉相关定理、性质，然后根据题目条件构造合适的函数，最后运用数学方法进行证明。
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