在深入解析数学二考研中的无穷级数问题时，我们首先需要掌握级数的收敛性判断。这一领域涵盖了正项级数、交错级数、条件收敛级数等多个方面。对于正项级数，常用的判别法有比值判别法、根值判别法等。交错级数则需运用莱布尼茨判别法。而条件收敛级数则需要更深入的理解和分析。
在具体操作中，考生应熟练运用级数收敛的定义和性质，对题目中的级数进行化简、变形，进而判断其收敛性。同时，对于级数的和的计算，考生还需掌握一些常见的级数求和公式，如幂级数、指数级数等。
以下是一则考研数学二无穷级数问题的解答：
问题：判断以下级数的收敛性，并求出其和（若收敛）。
级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$
解答过程：
首先，判断级数的收敛性。由于级数中的项均为正数，因此可以使用比值判别法。计算比值极限：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2n^2} = \frac{1}{2}$$
由于比值极限小于1，根据比值判别法，原级数收敛。
接下来，计算级数的和。由于级数收敛，可以使用幂级数求和公式：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{4}$$
令 $x = \frac{1}{4}$，则有：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{4} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} n^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
当 $n \to \infty$ 时，上式中的极限为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$$
因此，原级数的和为：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{24} = \frac{1}{48}$$
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