在深入解析24考研数学三的答案时，我们发现今年的题目既考验了考生的基础知识，又考察了他们的解题技巧。以下是对部分题目的详细解析：
1. 选择题：第一题涉及极限的计算，考察了考生对极限定义的掌握。正确答案为D，通过夹逼定理得出。
2. 填空题：第二题是一道关于函数连续性的题目，关键在于理解函数的连续性在无穷远处的表现。答案为3，通过洛必达法则求解。
3. 解答题：在解答题中，第三题是一道多元函数微分学的题目，要求考生能够熟练运用偏导数和全微分。正确答案为：偏导数\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x^2+y^2} \)，\( \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{x^2+y^2} \)。
4. 证明题：第四题是一道关于级数收敛性的证明题，考生需要运用比值审敛法。证明过程如下：设\( u_n = \frac{1}{n^2} \)，则\( \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)^2} \cdot n^2 = 1 \)，由比值审敛法知级数收敛。
5. 计算题：第五题是一道线性代数中的矩阵运算题，要求考生熟练掌握矩阵的秩和逆矩阵的求法。答案为矩阵\( A \)的逆矩阵，通过初等行变换求解。
6. 综合题：最后一题是一道综合题，涉及微分方程和常微分方程组。考生需要运用线性微分方程组的求解方法，结合具体条件求解。答案为：微分方程组的解为\( y_1 = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \)，\( y_2 = C_3 e^x - C_4 e^{-x} \)。
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