在2019年的考研数学二中，重积分部分考察了考生对积分方法的理解和应用。这一部分不仅要求考生掌握直角坐标系下的二重积分计算，还涉及了极坐标系下的积分技巧。以下是一道典型的重积分题目：
题目：计算下列二重积分：
\[ \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy \]
其中积分区域 \( D \) 为由直线 \( x + y = 2 \) 和 \( x = 0 \) 以及 \( y = 0 \) 所围成的三角形区域。
解题思路：
1. 确定积分区域 \( D \) 的边界，画出积分区域图形。
2. 根据积分区域的特点，选择合适的积分顺序和积分变量。
3. 分别计算两个积分。
解答过程：
首先，画出积分区域 \( D \)，确定积分顺序为先对 \( y \) 积分，再对 \( x \) 积分。
\[ \int_0^2 \left( \int_0^{2-y} (x^2 + y^2) \, dx \right) dy \]
计算内层积分：
\[ \int_0^{2-y} (x^2 + y^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + y^2x \right]_0^{2-y} = \frac{(2-y)^3}{3} + y^2(2-y) \]
然后计算外层积分：
\[ \int_0^2 \left( \frac{(2-y)^3}{3} + y^2(2-y) \right) dy \]
经过计算，最终结果为 \(\frac{8}{3}\)。
【考研刷题通】小程序，助你轻松掌握考研数学重积分等核心知识点，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，随时随地提升你的考研实力！快来体验吧！微信小程序搜索：【考研刷题通】，开启你的考研刷题之旅！