关键词：考研数学、强化例题
例题一：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解答：首先求出 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。当 \( x < 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；当 \( 1 < x < 3 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；当 \( x > 3 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。因此，\( x = 1 \) 是极大值点，\( x = 3 \) 是极小值点。计算得 \( f(1) = 5 \) 为极大值，\( f(3) = 1 \) 为极小值。
例题二：设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先求 \( \det(\lambda E - A) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \)，解得 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 3 \)。对于 \( \lambda_1 = 2 \)，解方程组 \( (2E - A)x = 0 \)，得特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。对于 \( \lambda_2 = 3 \)，解方程组 \( (3E - A)x = 0 \)，得特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
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