2000年考研数学三真题讲解如下：
一、选择题
1. 题目回顾：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求$f'(x)$。
解答：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 题目回顾：设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值。
解答：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2\sqrt{\frac{a+b}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$。
二、填空题
1. 题目回顾：设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f'(0)$。
解答：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x^2+1}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{-x^2}{x(x^2+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{-x}{x^2+1}=-1$。
2. 题目回顾：设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值。
解答：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\sqrt{1}=2$。
三、解答题
1. 题目回顾：设$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求$f(x)$的极值。
解答：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$；当$\frac{2}{3}
2. 题目回顾：设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，证明：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2}$。
解答：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq (1+1)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2}$。
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