2017考研数学二试题常见问题及答案解析

内容介绍

2017年的考研数学二试题对于很多考生来说难度不小，不少同学在考后都反映题目比较难，尤其是某些题目让人感觉无从下手。为了帮助大家更好地理解这些题目，我们整理了当时考生们最关心的几个问题，并给出了详细的解答。这些问题主要集中在高等数学和线性代数部分，涵盖了极限、微分方程、矩阵等多个知识点。通过阅读下面的解答，考生可以巩固相关知识点，了解解题思路，为今后的复习提供参考。

常见问题解答

问题1：2017年数学二真题中关于函数极限的计算问题

问题： 2017年数学二真题第3题考查了函数极限的计算，题目给出的是"lim(x→0) (x3-sin(x)cos(x)cos(2x))/(x5)"，很多同学在计算过程中遇到了困难，特别是如何处理三角函数的乘积项。

解答：
这个极限问题确实有一定难度，但只要掌握正确的方法就能顺利求解。我们可以利用三角函数的泰勒展开式来简化计算。对于小量x，sin(x)≈x-π/6x3，cos(x)≈1-π/2x2，cos(2x)≈1-2πx2。将这些近似式代入原式，得到：
(x3 (x-π/6x3)(1-π/2x2)(1-2πx2))/(x5)
≈ (x3 x3 + π/6x3 π/2x5 + 2πx5 + ...)/(x5)
= (π/6x3 + 3π/2x5 + ...)/(x5)
= π/6 + 3π/2x + ...
当x→0时，高阶项可以忽略，所以极限为π/6。

另一种方法是利用洛必达法则，但计算过程会更繁琐一些。这里需要提醒的是，在考研中，灵活运用泰勒展开式往往比直接使用洛必达法则更高效。当然，这个方法的前提是考生需要熟练掌握常见函数的泰勒展开式。

问题2：微分方程部分的求解技巧

问题： 2017年数学二真题第9题是一道微分方程应用题，题目要求求解一个与物理问题相关的微分方程，很多同学在建立方程和求解过程中都遇到了困难。

解答：
这类微分方程应用题通常需要两步解决：首先是建立微分方程，其次是求解方程。对于这道题，关键在于理解物理过程，将其转化为数学语言。题目中涉及的物理过程可能是振动或波动，根据牛顿第二定律或能量守恒定律，可以建立如y''+ky=0的微分方程。

解这类方程时，首先要确定方程类型，这里是一个二阶常系数齐次微分方程。特征方程为r2+k=0，解得r=±√(-k)i。所以通解为y=C1cos(√kx)+C2sin(√kx)。接下来需要根据初始条件确定常数C1和C2。

在建立微分方程时，考生需要仔细审题，理解题目的物理背景。有时候题目会给出一些隐含条件，比如速度、加速度的关系等，这些条件在建立方程时必须考虑进去。另外，在求解过程中，要注意计算的准确性，避免因为计算错误导致整个题目失分。

问题3：线性代数中的矩阵计算问题

问题： 2017年数学二真题第20题考查了矩阵的计算，特别是涉及到矩阵的秩和特征值，很多同学在计算过程中出现了错误。

解答：
对于矩阵秩的计算，关键在于将矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行的个数就是矩阵的秩。在计算特征值时，需要先求出特征方程det(A-λI)=0的根，这里要注意特征值可能有重根。

矩阵秩的计算需要一定的技巧，比如有时候需要对矩阵进行巧妙的行变换，使得计算过程更简单。而特征值的计算则更加复杂，需要考生熟练掌握行列式的计算方法。在计算过程中，要注意符号的变化，避免因为符号错误导致计算结果错误。

最后需要提醒的是，线性代数部分的计算量通常比较大，考生在平时练习时就要注重计算的准确性和速度，避免在考试中因为计算问题而失分。可以通过多做题、多总结来提高计算能力，同时也要注意检查，避免低级错误。