考研数学：极限与连续性核心考点深度解析

极限与连续性是考研数学中的基础性内容，也是后续学习多元函数微积分、级数等知识的前提。这部分不仅考查对基本概念的理解，还涉及大量计算技巧和证明方法。许多考生在备考过程中容易混淆无穷小阶的比较、极限存在性证明的技巧，以及连续性在闭区间上的性质应用。本栏目将通过典型问题解析，帮助考生厘清易错点，掌握解题思路，提升应试能力。

问题一：如何判断函数在某点处的极限是否存在？

在考研数学中，判断函数在某点处极限是否存在，通常需要结合左极限和右极限进行分析。若左极限等于右极限，则极限存在；否则，极限不存在。具体方法包括：

• 利用极限定义：通过ε-δ语言严格证明，适用于分段函数或抽象函数。
• 代入法：若函数在点a处连续，可直接代入计算。
• 夹逼定理：适用于含有绝对值或三角函数的极限问题。
• 无穷小比较：通过等价无穷小替换简化计算。

例如，对于函数f(x) = sin(1/x)，在x→0时，由于左极限和右极限均不存在，因此极限不存在。而函数g(x) = x2sin(1/x)，在x→0时，由于x2为无穷小，sin(1/x)有界，根据乘积性质，极限为0。考生需注意，在证明过程中要避免忽略绝对值或符号讨论，导致结论错误。

问题二：闭区间上连续函数的性质有哪些应用场景？

闭区间上连续函数的性质主要包括最值定理、零点定理和介值定理，这些定理在考研数学中应用广泛。最值定理保证了连续函数在闭区间上必有最大值和最小值；零点定理则用于证明方程根的存在性；介值定理则说明连续函数可取介于最大值和最小值之间的任意值。

例如，在证明方程f(x) = 0在区间[a,b]上有根时，若能验证f(a)f(b) < 0，则根据零点定理可直接得出结论。又如，在计算定积分时，若被积函数连续，则可通过找最值来确定积分范围。特别地，在级数收敛性证明中，有时需要借助连续函数的性质构造辅助函数，如证明交错级数莱布尼茨判别法的收敛性时，会构造连续函数sin(x)/x的积分和余项关系。

问题三：无穷小量的比较在极限计算中有哪些技巧？

无穷小量的比较是极限计算的核心技巧之一，主要应用于简化复杂极限或判断无穷小的阶。常见的比较方法包括：