考研数学中正定矩阵的核心考点与解题技巧深度解析

正定矩阵是考研数学线性代数部分的重要考点，涉及定义、性质、判定及综合应用等多个维度。它不仅是理论研究的基石，也是解决实际工程问题的有力工具。掌握正定矩阵的核心概念与解题方法，对提升数学综合能力至关重要。本文将从多个角度深入探讨正定矩阵的常见问题，帮助考生系统梳理知识，突破学习难点。

问题一：如何判定一个矩阵是否为正定矩阵？

正定矩阵的判定是考研中的高频考点，考生需熟练掌握多种判定方法。根据定义，如果一个对称矩阵<0xE2><0x82><0x9B>满足对任意非零向量<0xE2><0x82><0x99>，都有<0xE2><0x82><0x99>^T<0xE2><0x82><0x9B><0xE2><0x82><0x99> > 0，则称其为正定矩阵。这个定义直接但验证起来较为复杂，因此在实际应用中较少单独使用。

更常用的判定方法是利用特征值。对于实对称矩阵<0xE2><0x82><0x9B>，如果其所有特征值均为正数，则该矩阵正定。这个方法相对直观，但需要先求出特征值，计算量可能较大。另一种高效的方法是借助主子式。具体来说，对称矩阵<0xE2><0x82><0x9B>正定的充分必要条件是它的所有顺序主子式均大于零。顺序主子式指的是矩阵左上角的子矩阵的行列式，依次取一阶、二阶、三阶……直至<0xE2><0x82><0x99>阶主子式。这个定理非常实用，尤其适用于大型矩阵的判定。

还有惯性指数法。对称矩阵的惯性指数是指其正特征值、负特征值和零特征值的个数。正定矩阵的惯性指数要求正特征值的个数为<0xE2><0x82><0x99>，负特征值和零特征值的个数为0。这个方法在理论推导中常用，但在具体计算时可能不如主子式法直观。

问题二：正定矩阵有哪些重要的性质？

正定矩阵具有一系列独特的性质，这些性质不仅有助于理解和应用，也是解决相关问题的关键。正定矩阵一定是对称矩阵。这是其定义的一部分，也是许多性质成立的基础。如果矩阵不对称，即使某些特征值为正，也无法保证其正定性。

正定矩阵的特征值具有正实数性质。这意味着无论采用何种方法求解特征值，只要矩阵正定，其特征值必然大于零。这一性质在求解相关问题时非常有用，比如在优化理论中，目标函数的Hessian矩阵正定时，其对应的无约束优化问题存在唯一的最小值。

第三，正定矩阵与其逆矩阵、伴随矩阵、合同变换后的矩阵等仍然保持正定性。例如，如果<0xE2><0x82><0x9B>正定，那么<0xE2><0x82><0x9B>^-1也正定。这一性质在矩阵运算中非常重要，可以简化很多复杂问题。又如，如果<0xE2><0x82><0x9B>正定，那么对任意非奇异矩阵<0xE2><0x82><0x99>，<0xE2><0x82><0x99>^T<0xE2><0x82><0x9B><0xE2><0x82><0x99>也正定。这个性质在二次型的研究中尤为关键。

正定矩阵的行列式恒大于零。这一性质虽然看似简单，但在某些证明中非常有用。例如，在证明某个矩阵满秩时，可以利用其正定性推导出行列式不为零，从而得到满秩结论。

问题三：如何利用正定矩阵解决二次型的正定性判定问题？

二次型的正定性判定是考研数学中的常见题型，通常需要将二次型表示为矩阵形式，再利用正定矩阵的性质进行判断。二次型的一般形式为<0xE2><0x82><0x99>^T<0xE2><0x82><0x9B><0xE2><0x82><0x99>，其中<0xE2><0x82><0x9B>是系数矩阵，通常要求其为对称矩阵。<0xE2><0x82><0x99>是变量向量。

判定二次型<0xE2><0x82><0x99>^T<0xE2><0x82><0x9B><0xE2><0x82><0x99>正定的方法主要有两种：一是将系数矩阵<0xE2><0x82><0x9B>对角化，即找到正交矩阵<0xE2><0x82><0x99>，使得<0xE2><0x82><0x9B> = <0xE2><0x82><0x99>^T<0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x9B><0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x99>^T，然后判断对角矩阵<0xE2><0x82><0x9B><0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x99>^T的对角元是否全为正。这种方法在<0xE2><0x82><0x9B>可对角化时非常有效。

另一种方法是直接利用<0xE2><0x82><0x9B>的主子式。根据Sylvester定理，<0xE2><0x82><0x99>^T<0xE2><0x82><0x9B><0xE2><0x82><0x99>正定的充分必要条件是<0xE2><0x82><0x9B>的所有顺序主子式均大于零。这个方法无需对角化，计算相对简单，尤其适用于大型矩阵。但顺序主子式的计算需要逐级进行，且不能跳过任何中间步骤。

如果二次型在某个区域内的值恒为正，也可以间接证明其正定性。这种方法在涉及具体函数时常用，但需要较强的分析能力。