1. 题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 4 \)，求 \( \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} \)。
解答：通过因式分解 \( f(x) \) 得 \( f(x) = (x-2)(x-1) + 2 \)。因此，原极限可以化简为 \( \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-1) + 2}{x-2} \)。由于 \( x \to 2 \) 时，\( (x-2) \) 项趋于0，极限值为 \( 2 \)。
2. 题目：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} \)。
解答：利用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x} \)。再次应用洛必达法则，求导后得到 \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = -\frac{1}{2} \)。
3. 题目：计算 \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\arctan x}{x} - 1 \right) \)。
解答：使用等价无穷小替换 \( \arctan x \approx x \) 当 \( x \to 0 \)，原极限变为 \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{x} - 1 \right) = \lim_{x \to 0} (1 - 1) = 0 \)。
4. 题目：求 \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \right) \)。
解答：由于 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \) 和 \( \frac{2}{x^2} \) 都趋向于0，故原极限为 \( 0 \)。
5. 题目：计算 \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} - \cos x \right) \)。
解答：利用泰勒展开，\( \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} \) 和 \( \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)。代入后，极限变为 \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{x - \frac{x^3}{6}}{x} - (1 - \frac{x^2}{2}) \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right) = 0 \)。
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