2025考研数二压轴题解析：
一、压轴题类型：解析几何与多元函数微分学综合题
题目内容：设点P为椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的任意一点，求点P到直线 $ax + by = c$ 的距离的最小值。
解题步骤：
1. 求出椭圆上任意一点P的坐标：设P的坐标为 $(a\cos\theta, b\sin\theta)$。
2. 求出点P到直线的距离公式：$d = \frac{|ax + by - c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。
3. 将P点的坐标代入距离公式，得到距离 $d = \frac{|a^2\cos\theta + b^2\sin\theta - c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。
4. 利用三角函数的性质，将上式转换为 $\frac{|R\cos(\theta - \alpha) - c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$，其中 $R = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\tan\alpha = \frac{b}{a}$。
5. 为了求距离的最小值，需要找到 $\cos(\theta - \alpha)$ 的最大值。由于 $\cos(\theta - \alpha)$ 的取值范围为 $[-1, 1]$，所以当 $\cos(\theta - \alpha) = 1$ 时，距离 $d$ 取得最小值。
6. 由此得到最小距离为 $\frac{|R - c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。
二、答案：点P到直线 $ax + by = c$ 的距离的最小值为 $\frac{|R - c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。
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