在2025年考研数学二中，以下是一些典型题目的答案示例：
1. 选择题：若函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x=1 \) 处可导，则 \( f'(1) \) 的值为：
- 答案：\( f'(1) = -2 \)
2. 填空题：设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^2} \) 的值为：
- 答案：\( \frac{1}{2} \)
3. 解答题：计算定积分 \( \int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx \)：
- 答案：\( \int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -\pi^2 \)
4. 证明题：证明：若 \( a, b \) 是实数，且 \( a^2 + b^2 = 1 \)，则 \( ab \leq \frac{1}{2} \)。
- 答案：利用柯西-施瓦茨不等式，得 \( (a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) \geq (a + b)^2 \)，即 \( 2 \geq (a + b)^2 \)，从而 \( ab \leq \frac{1}{2} \)。
5. 应用题：求曲线 \( y = e^x \) 在点 \( (0,1) \) 处的切线方程。
- 答案：\( y = e^x \) 在 \( x=0 \) 处的导数为 \( e^0 = 1 \)，故切线方程为 \( y - 1 = 1(x - 0) \)，即 \( y = x + 1 \)。
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