2025年数二考研真题解析如下：
一、选择题解析
1. 解析：本题考查极限的计算，通过洛必达法则或泰勒公式可以得到极限值。
答案：B
2. 解析：本题涉及线性方程组的求解，通过行阶梯形矩阵或克拉默法则求解。
答案：C
3. 解析：本题考查二重积分的计算，利用极坐标转换或直接计算即可得到结果。
答案：A
4. 解析：本题考察常系数线性微分方程的解法，通过特征方程求解。
答案：D
二、填空题解析
1. 解析：本题考查数列的通项公式，通过等差数列或等比数列的定义和性质求解。
答案：\(\frac{1}{2}\)
2. 解析：本题涉及行列式的计算，通过拉普拉斯展开或行列式的性质求解。
答案：-2
3. 解析：本题考查级数的收敛性，通过比值测试或根值测试判断级数的收敛。
答案：\(-\frac{\pi}{2}\)
三、解答题解析
1. 解析：本题考查多元函数的偏导数和全微分，通过求偏导数和全微分公式计算。
答案：\(f_x'(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2-x^2-y^2}}, f_y'(x,y) = \frac{y}{\sqrt{2-x^2-y^2}}\)
2. 解析：本题考查线性规划问题，通过线性规划的基本理论和图解法求解。
答案：\(x=1, y=2, z=3, \text{最大值为} 6\)
3. 解析：本题考查微分方程的解法，通过变量分离法或积分因子法求解。
答案：\(y = Ce^{2x}\)
四、证明题解析
1. 解析：本题考查函数的连续性和可导性，通过函数极限和导数的定义证明。
答案：证明过程详见解析。
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