2018年考研数学题目二：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，求证：对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 0$。
证明：首先，对$f(x)$求导，得$f'(x)=3x^2-6x+4$。
令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；
当$\frac{2}{3} 当$x>1$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。 因此，$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$时取得极大值，在$x=1$时取得极小值。 计算$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}+6=\frac{150}{27}$，$f(1)=1-3+4+6=8$。 由于$f\left(\frac{2}{3}\right)>0$，$f(1)>0$，且$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$和$x=1$之间取得极小值，所以对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 0$。 【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助力你高效刷题，轻松备考！快来关注我们，开启你的考研之旅吧！