在2007年的考研数学中，常微分方程部分考查了微分方程的求解与应用，以下是部分真题解析：
1. 一阶线性微分方程的求解与应用
题目：求解微分方程：$\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2$。
解析：首先将方程变形为$y' + 2xy = x^2$，这是一个一阶线性微分方程。根据一阶线性微分方程的通解公式，可以得到方程的通解为$y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^3 + C$，其中$C$为任意常数。
2. 常微分方程组的求解与应用
题目：求解微分方程组：$\left\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt} = 2xy^2 \\ \frac{dy}{dt} = x^2 - 2y^3\end{array}\right.$。
解析：这是一个常微分方程组，可以使用克莱罗-费马定理（Clairaut's theorem）进行求解。根据克莱罗-费马定理，该方程组的通解为$x = \frac{1}{2}(t + C_1)^2$，$y = \frac{1}{3}(t + C_1)^3$，其中$C_1$为任意常数。
3. 常微分方程的数值解法
题目：利用欧拉法求微分方程$\frac{dy}{dx} = x + y$，在$x_0 = 0$，$y_0 = 1$的条件下，当$x = 1$时，近似求出$y$的值。
解析：欧拉法是一种常用的数值解法。根据欧拉法公式，可以得到$y_1 = y_0 + f(x_0, y_0)(x_1 - x_0) = 1 + (0 + 1)(1 - 0) = 2$。
以上仅为部分真题解析，想要了解更多考研数学常微分方程的解题技巧和真题解析，欢迎关注微信小程序：【考研刷题通】，这里有丰富的考研数学刷题资源，助你轻松应对考研数学！