在数学考研中，常微分方程是一个重要的考点。以下是一个典型的常微分方程例题：
例题： 求解微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \)，其中 \( y(0) = 1 \) 且 \( y'(0) = 2 \)。
解题步骤：
1. 求解齐次方程： 首先，求解对应的齐次方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)。设 \( y = e^{rx} \)，代入得到特征方程 \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)，解得 \( r = 2 \)（重根）。
2. 求特解： 因为非齐次项为 \( e^{2x} \)，所以特解可以设为 \( y_p = Ax e^{2x} \)。代入原方程，通过比较系数，得到 \( A = \frac{1}{2} \)。
3. 通解： 将齐次解和特解相加，得到通解 \( y = (C_1 + \frac{1}{2}x)e^{2x} \)。
4. 应用初始条件： 使用初始条件 \( y(0) = 1 \) 和 \( y'(0) = 2 \) 来求解常数 \( C_1 \)。计算得 \( C_1 = \frac{1}{2} \)。
5. 最终解： 将 \( C_1 \) 代入通解，得到最终解 \( y = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}x)e^{2x} \)。
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