题目：已知函数 \( f(x) \) 满足微分方程 \( f''(x) + f(x) = \sin x \)，且 \( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = 2 \)，求 \( f(x) \) 的表达式。
解题步骤：
1. 首先求解对应的齐次微分方程 \( f''(x) + f(x) = 0 \) 的通解。设 \( f(x) = e^{rx} \)，代入齐次方程得 \( r^2 + 1 = 0 \)，解得 \( r = \pm i \)。
2. 因此，齐次方程的通解为 \( f_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 为任意常数。
3. 接下来，求非齐次方程的特解。由于 \( \sin x \) 是非齐次项，我们可以设特解为 \( f_p(x) = A \cos x + B \sin x \)。
4. 将 \( f_p(x) \) 代入原微分方程 \( f''(x) + f(x) = \sin x \)，得 \( -A \cos x - B \sin x + A \cos x + B \sin x = \sin x \)。
5. 整理得 \( 0 = \sin x \)，这与原方程不符。因此，我们需要调整特解的形式，设 \( f_p(x) = x(A \cos x + B \sin x) \)。
6. 将 \( f_p(x) \) 代入原微分方程，得 \( -A \cos x - B \sin x + 2A \sin x + 2B \cos x = \sin x \)。
7. 整理得 \( (2A - 1) \sin x + (2B - A) \cos x = \sin x \)。
8. 令 \( 2A - 1 = 1 \) 和 \( 2B - A = 0 \)，解得 \( A = 1 \)，\( B = 1 \)。
9. 因此，特解为 \( f_p(x) = x(\cos x + \sin x) \)。
10. 所以，原微分方程的通解为 \( f(x) = f_h(x) + f_p(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x(\cos x + \sin x) \)。
11. 根据初始条件 \( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = 2 \)，代入通解得 \( C_1 = 1 \)，\( C_2 = 0 \)。
12. 最终，\( f(x) = \cos x + x\sin x \)。
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